1 指定居宅サービス事業者は、市町村長が指定を行う。
2 事業者は、市町村長から3年ごとに指定の更新を受けなければならない。
3 市町村長は、事業者からの廃業の届出があったときは、公示しなければならない。
4 都道府県知事は、居宅介護サービス費の請求に関する不正があったとき、指定を取り消すことができる。
5 事業の取消しを受けた事業者は、その取消しの日から起算して3年を経過すれば指定を受けることができる。
選択肢1について
第四十一条 市町村は、要介護認定を受けた被保険者（以下「要介護被保険者」という。）のうち居宅において介護を受けるもの（以下「居宅要介護被保険者」という。）が、都道府県知事が指定する者（以下「指定居宅サービス事業者」という。）から当該指定に係る居宅サービス事業を行う事業所により行われる居宅サービス（以下「指定居宅サービス」という。）を受けたときは、当該居宅要介護被保険者に対し、当該指定居宅サービスに要した費用（特定福祉用具の購入に要した費用を除き、通所介護、通所リハビリテーション、短期入所生活介護、短期入所療養介護及び特定施設入居者生活介護に要した費用については、食事の提供に要する費用、滞在に要する費用その他の日常生活に要する費用として厚生労働省令で定める費用を除く。以下この条において同じ。）について、居宅介護サービス費を支給する。ただし、当該居宅要介護被保険者が、第三十七条第一項の規定による指定を受けている場合において、当該指定に係る種類以外の居宅サービスを受けたときは、この限りでない。
（介護保険法第40条第1項）
長くてわかりづらいですが、「都道府県知事が指定する者（以下「指定居宅サービス事業者」という。）」とあるとおり、指定するのは都道府県知事です。選択肢1は誤りです。
選択肢2について
第七十条の二 第四十一条第一項本文の指定は、六年ごとにその更新を受けなければ、その期間の経過によって、その効力を失う。
（介護保険法第70条の2）
更新は6年ごとです。選択肢2は誤りです。
選択肢3について
第七十八条 都道府県知事は、次に掲げる場合には、当該指定居宅サービス事業者の名称又は氏名、当該指定に係る事業所の所在地その他の厚生労働省令で定める事項を公示しなければならない。
一 第四十一条第一項本文の指定をしたとき。
二 第七十五条第二項の規定による事業の廃止の届出があったとき。
三 前条第一項又は第百十五条の三十五第六項の規定により第四十一条第一項本文の指定を取り消し、又は指定の全部若しくは一部の効力を停止したとき。（介護保険法第78条）
廃業の届出があったとき公示しなければならないのは都道府県知事です。選択肢3は誤りです。
選択肢4について
第七十七条 都道府県知事は、次の各号のいずれかに該当する場合においては、当該指定居宅サービス事業者に係る第四十一条第一項本文の指定を取り消し、又は期間を定めてその指定の全部若しくは一部の効力を停止することができる。
（第一号から第五号 省略）
六 居宅介護サービス費の請求に関し不正があったとき。
（第七号から第十三号 省略）（介護保険法第77条第1項第6号）
選択肢4は正しいです。
選択肢5について
ものすごく長いので条文の引用はしませんが、取り消しから5年を経過しないと指定を受けることはできません。選択肢5は誤りです。
正答4